Կոմպլեքս անալիզ

Դիտարկենք $XOY$ հարթությունը։ Մեր նպատակն է այս հարթության կետերի միջև սահմանել թվային գործողություններ։

Սահմանում 1 (Գումարում). $(x_1, y_1) \pm (x_2, y_2) = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2)$

Սահմանում 2 (Բազմապատկում). $(x_1, y_1) \cdot (x_2, y_2) = (x_1 \cdot x_2 - y_1 \cdot y_2, x_1 \cdot y_2 + y_1 \cdot x_2)$

Սահմանում 3 (Բաժանում). $(x_1, y_1) / (x_2, y_2) = (a, b)$, որտեղ $(x_1, y_1) = (a, b) \cdot (x_2, y_2)$։ Կստացվի սովորական գծային հավասարումների համակարգ. $\begin{cases} x_1 = a x_2 - b y_2 \\ y_1 = a y_2 + b x_2 \end{cases} \implies a = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{x_2^2 + y_2^2}, \quad b = \frac{x_2 y_1 - y_2 x_1}{x_2^2 + y_2^2}$

Կանոնական տեսք. $(0, 1)$ կետը նշանակենք $i$-ով։ Նկատենք, որ $(0, 1)^2 = (-1, 0) = -1$։ $z = a + ib$: $z$-ը կոչվում է կոմպլեքս թիվ, իսկ $\bar{z} = a - ib$-ն՝ $z$-ի համալուծ։

• $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2$
• $\frac{a + ib}{c + id} = \frac{ac + bd + i(bc - ad)}{c^2 + d^2}$

Սահմանում. $OY$ առանցքը կոչվում է կեղծ առանցք, $OX$-ը՝ իրական։ $a = \operatorname{Re} z, b = \operatorname{Im} z$:

Դիցուք $z = a + ib$։ Նշանակենք $|z| = \rho = \sqrt{a^2 + b^2}$։

Սահմանում. $\rho$-ն կոչվում է $z$-ի մոդուլ, իսկ $\varphi$-ն՝ արգումենտ։ $\text{Arg} z$-ով նշանակում ենք բոլոր անկյունների բազմությունը՝ $-pi + 2\pi k < \text{Arg} z \le \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$:

Եռանկյունաչափական տեսք. $\begin{cases} a = \rho \cos\varphi \\ b = \rho \sin\varphi \end{cases} \implies z = \rho (\cos\varphi + i \sin\varphi)$

Ցուցչային տեսք. Նշանակենք $\cos\varphi + i \sin\varphi = e^{i\varphi}$ (Էյլերի բանաձև)։ Այդ դեպքում $z = \rho \cdot e^{i\varphi}$:

Թեորեմ. Դիցուք 2 կոմպլեքս թվեր բազմապատկված են իրար։ Այդ դեպքում նրանց մոդուլները բազմապատկվում են, իսկ արգումենտները՝ գումարվում։

Ապացույց. $z_1 = \rho_1 (\cos\varphi_1 + i \sin\varphi_1)$, $z_2 = \rho_2 (\cos\varphi_2 + i \sin\varphi_2)$ $z_1 \cdot z_2 = \rho_1 \rho_2 [(\cos\varphi_1 \cos\varphi_2 - \sin\varphi_1 \sin\varphi_2) + i(\cos\varphi_1 \sin\varphi_2 + \sin\varphi_1 \cos\varphi_2)]$ $= \rho_1 \rho_2 [\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)]$

Այստեղից հետևում է Մուավրի բանաձևը. $z^n = \rho^n (\cos n\varphi + i \sin n\varphi)$:

Սահմանում. $\lim_{n \to \infty} z_n = a$, եթե $\forall \varepsilon > 0, \exists N(\varepsilon) > 0$, այնպես որ $\forall n > N \implies |z_n - a| < \varepsilon$:

Թեորեմ. Որպեսզի $z_n \to a$, անհրաժեշտ է և բավարար, որ $\operatorname{Re} z_n \to \operatorname{Re} a$ և $\operatorname{Im} z_n \to \operatorname{Im} a$:

Բոլցանո-Վայերշտրասի թեորեմ. Եթե $\{z_n\}$-ը սահմանափակ է, ապա $\exists \{z_{n_k}\}$ ենթահաջորդականություն, որն ունի վերջավոր սահման։

Կոշիի զուգամիտության սկզբունք. Հաջորդականությունն ունի վերջավոր սահման այն և միայն այն դեպքում, երբ $\forall \varepsilon > 0, \exists N : \forall n \ge N, \forall p \ge 1 \implies |z_{n+p} - z_n| < \varepsilon$:

Շարքեր. $\sum z_k$ շարքը կոչվում է բացարձակ զուգամետ, եթե զուգամետ է $\sum |z_k|$ շարքը։

Կորը տրվում է $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$ համակարգով, $\alpha \le t \le \beta$:

• Ողորկ կոր. $x(t), y(t)$ ունեն անընդհատ ածանցյալներ և $(x')^2 + (y')^2 \neq 0$:
• Պարզ կոր. Կտոր-առ-կտոր ողորկ է և ինքնահատում չունի։
• Փակ կոր. $z(\alpha) = z(\beta)$:
• Տիրույթ. $D$ բաց բազմություն։ $\bar{D} = D \cup \partial D$, որտեղ $\partial D$-ն $D$-ի եզրն է։

Թեորեմ (Աբելի). Եթե $\{\alpha_k\}_{k=1}^\infty$ իրական թվերի հաջորդականությունը մոնոտոն է և սահմանափակ, իսկ $\sum_{k=1}^\infty \beta_k$ զուգամետ է, ապա $\sum_{k=1}^\infty \alpha_k \cdot \beta_k$ շարքը զուգամետ է:

Թեորեմ (Դիրիխլեի). Եթե $\{\alpha_k\}_{k=1}^\infty$ իրական թվերի հաջորդականությունը մոնոտոն է և ձգտում է 0-ի ($\alpha_k \downarrow 0$), իսկ $\beta_k = \sum_{i=1}^k \beta_i$ մասնակի գումարների հաջորդականությունը սահմանափակ է, ապա $\sum_{k=1}^\infty \alpha_k \cdot \beta_k$ զուգամետ է:

$D \subset \mathbb{C}$ տիրույթի վրա որոշված $f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$ ֆունկցիան կոչվում է կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիա:

Սահմանում (Միաթերթություն). $f(z)$ ֆունկցիան կոչվում է միաթերթ, եթե $\forall z_1 \neq z_2 \implies f(z_1) \neq f(z_2)$:

Սահմանում (Սահման - ըստ Կոշիի). $f(z) \to A$, երբ $z \to z_0$, եթե $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta(\varepsilon) > 0$, այնպես որ $0 < |z - z_0| < \delta \implies |f(z) - A| < \varepsilon$:

Կոշիի զուգամիտության հայտանիշ. Որպեսզի $f(z)$-ն ունենա վերջավոր սահման, անհրաժեշտ է և բավարար, որ $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$, այնպես որ $0 < |z' - z_0| < \delta$ և $0 < |z'' - z_0| < \delta \implies |f(z') - f(z'')| < \varepsilon$:

Անընդհատություն. $f(z)$-ը անընդհատ է $z_0$-ում, եթե $\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$:

Սահմանում. Եթե $\lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}$ սահմանը գոյություն ունի և վերջավոր է, այն կոչվում է $f'(z_0)$:

Թեորեմ. Որպեսզի $f(z) = u + iv$ լինի դիֆերենցելի $z_0$ կետում, անհրաժեշտ է և բավարար, որ $u$ և $v$ ֆունկցիաները լինեն դիֆերենցելի և տեղի ունենան Կոշի-Ռիմանի պայմանները. $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

Ապացույց (Անհրաժեշտություն). Դիցուք $f'(z_0) = \alpha + i\beta$: Այդ դեպքում $\frac{\Delta f}{\Delta z} = \alpha + i\beta + \varepsilon(z)$, որտեղ $\varepsilon \to 0$: $\Delta u + i\Delta v = (\alpha + i\beta)(\Delta x + i\Delta y) + \dots$ $\Delta u = \alpha\Delta x - \beta\Delta y + \dots \implies \frac{\partial u}{\partial x} = \alpha, \frac{\partial u}{\partial y} = -\beta$ $\Delta v = \beta\Delta x + \alpha\Delta y + \dots \implies \frac{\partial v}{\partial x} = \beta, \frac{\partial v}{\partial y} = \alpha$ Հետևաբար՝ $u_x = v_y = \alpha$ և $u_y = -v_x = -\beta$:

Հատկություն 1. Եթե $f, g$ անալիտիկ են, ապա $f \pm g$, $f \cdot g$ և $f/g$ ($g \neq 0$) անալիտիկ են:

Հատկություն 2 (Բարդ ֆունկցիա). $h(f(z))$ անալիտիկ է և $(h \circ f)' = h' \cdot f'$:

Հատկություն 3 (Հակադարձ ֆունկցիա). Եթե $f(z)$ անալիտիկ է և $f'(z_0) \neq 0$, ապա $z_0$-ի շրջակայքում գոյություն ունի անալիտիկ հակադարձ ֆունկցիա $z = \varphi(w)$, ընդ որում $\varphi'(w) = 1/f'(z)$:

Յակոբյանի որոշիչ. Կոշի-Ռիմանի պայմաններից հետևում է, որ. $\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} = \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{vmatrix} = u_x^2 + u_y^2 = |f'(z)|^2$

Պնդում. Եթե տրված է անալիտիկ ֆունկցիայի իրական մասը $u(x, y)$, ապա կեղծ մասը գտնվում է հետևյալ կերպ. $v(x, y) = \int_{(x_0, y_0)}^{(x, y)} -\frac{\partial u}{\partial y} dx + \frac{\partial u}{\partial x} dy + C$

Ապացույց. Քանի որ $v$ հարմոնիկ է, նրա լրիվ դիֆերենցիալը $dv = v_x dx + v_y dy$: Կիրառելով Կոշի-Ռիմանի պայմանները ($v_x = -u_y, v_y = u_x$), ստանում ենք $dv = -u_y dx + u_x dy$: Այս դիֆերենցիալ ձևի ինտեգրալը կախված չէ ճանապարհից, քանի որ $(-u_y)_y = (u_x)_x \implies u_{xx} + u_{yy} = 0$ (Լապլասի հավասարում):

Սահմանում. $e^z = e^x(\cos y + i\sin y)$:

Հատկություններ.

1. $e^{z_1} \cdot e^{z_2} = e^{z_1 + z_2}$
2. $e^z$ պարբերական է $2\pi i$ պարբերությամբ: $e^{z + 2\pi i} = e^z$:
3. $|e^z| = e^x$, $\arg e^z = y + 2\pi k$:

Միաթերթություն. $e^z$ ֆունկցիան միաթերթ է ցանկացած շերտում, որի լայնությունը $2\pi$ է (օրինակ՝ $0 < y < 2\pi$):

Սահմանում. $w = \operatorname{Ln} z$ այնպիսի թիվ է, որ $e^w = z$:

Բանաձև. Եթե $z = \rho e^{i\varphi}$, ապա $w = u + iv$ համակարգից ստանում ենք. $e^u = \rho \implies u = \ln|z|$ $v = \varphi + 2\pi k$ $\operatorname{Ln} z = \ln|z| + i(\arg z + 2\pi k), \quad k \in \mathbb{Z}$

Գլխավոր արժեք. $\ln z = \ln|z| + i \arg z$, որտեղ $-pi < \arg z \le \pi$: Այն արտապատկերում է կոմպլեքս հարթությունը (առանց $z=0$ կետի) $uOv$ հարթության $-pi < v \le \pi$ շերտի վրա:

Սահմանում. $\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}, \quad \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$

Հատկություններ.

1. $\cos^2 z + \sin^2 z = 1$
2. Կապը հիպերբոլական ֆունկցիաների հետ. $\cos(iy) = \cosh y$ $\sin(iy) = i \sinh y$

Հավասարումների լուծում. $\cos z = a$ լուծելու համար նշանակում ենք $e^{iz} = t$, ինչը բերում է քառակուսային հավասարման. $t^2 - 2at + 1 = 0$:

Սահմանում. zʷ = e^{w \operatorname{Ln} z}$: Սա բազմարժեք ֆունկցիա է լոգարիթմի բազմարժեքության պատճառով:

Օրինակ. $i^i = e^{i \operatorname{Ln} i}$ $\operatorname{Ln} i = \ln|i| + i(\pi/2 + 2\pi k) = i(\pi/2 + 2\pi k)$ $i^i = e^{i \cdot i(\pi/2 + 2\pi k)} = e^{-\pi/2 - 2\pi k}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Դիտարկենք $w = f(z)$ անալիտիկ ֆունկցիան, որտեղ $f'(z_0) \neq 0$: Նշանակենք $f'(z_0) = \rho e^{i\varphi_0}$:

1. Մոդուլի իմաստը (Ձգում). $\rho = |f'(z_0)| = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{|\Delta w|}{|\Delta z|}$: Այն ցույց է տալիս $z_0$ կետի շրջակայքում գծային ձգման (կամ սեղմման) գործակիցը:

2. Արգումենտի իմաստը (Պտույտ). $\varphi_0 = \arg f'(z_0) = \alpha_0 - \beta_0$: Այն ցույց է տալիս $z_0$ կետով անցնող կորի շոշափողի պտտման անկյունը արտապատկերման ժամանակ:

Կոնֆորմ արտապատկերում. Արտապատկերումը, որը պահպանում է կորերի կազմած անկյունները և ձգման հաստատունությունը տվյալ կետում:

Սահմանում. Ինտեգրալը սահմանվում է որպես ինտեգրալային գումարի սահման. $\lim_{\lambda_n \to 0} \sum_{k=1}^n f(C_k) \Delta z_k$:

Հաշվման բանաձևը. $\int_{AB} f(z) dz = \int_{AB} (u dx - v dy) + i \int_{AB} (v dx + u dy)$

Պարամետրական տեսքով. Եթե $z(t) = x(t) + iy(t), \alpha \le t \le \beta$, ապա. $\int_{AB} f(z) dz = \int_{\alpha}^{\beta} f(z(t)) z'(t) dt$

1. Գծայնություն. $\int (cf + g) = c\int f + \int g$
2. Ուղղություն. $\int_{AB} f(z) dz = -\int_{BA} f(z) dz$
3. Ադիտիվություն. Եթե $l_{AB} = l_{AC} \cup l_{CB}$, ապա $\int_{l_{AB}} = \int_{l_{AC}} + \int_{l_{CB}}$
4. Մոդուլի գնահատական. $\left| \int_{AB} f(z) dz \right| \le \int_{AB} |f(z)| ds \le M \cdot L$ որտեղ $M = \max |f(z)|$ կորի վրա, իսկ $L$-ը կորի երկարությունն է:

Դիտարկենք հետևյալ ինտեգրալը. $\int_{|z-z_0|=R} \frac{dz}{z-z_0}$:

Ապացույց. Ունենք $z-z_0 = R e^{it}$, որտեղ $0 \le t \le 2\pi$: Այդ դեպքում $dz = i R e^{it} dt$: $\int_{|z-z_0|=R} \frac{dz}{z-z_0} = \int_0^{2\pi} \frac{i R e^{it} dt}{R e^{it}} = i \int_0^{2\pi} dt = 2\pi i$ Սա կարևոր արդյունք է, որը ցույց է տալիս, որ ինտեգրալի արժեքը կախված չէ շառավղից ($R$):

Թեորեմ. Եթե $f(z)$ ֆունկցիան անալիտիկ է $D$ միակապ տիրույթում, ապա $\oint_{\Gamma} f(z) dz = 0$ ցանկացած փակ $\Gamma$ կոնտուրի համար:

Ապացույց. Օգտվենք Գրինի բանաձևից. $\int_{\Gamma} (P dx + Q dy) = \iint_D (Q_x - P_y) dx dy$: $\int_{\Gamma} f(z) dz = \int_{\Gamma} (u dx - v dy) + i \int_{\Gamma} (v dx + u dy)$ Կիրառելով Գրինի բանաձևը. Իրական մաս՝ $\iint (-v_x - u_y) dx dy$ Կեղծ մաս՝ $\iint (u_x - v_y) dx dy$ Ըստ Կոշի-Ռիմանի պայմանների ($u_x = v_y$ և $u_y = -v_x$), երկու ինտեգրալներն էլ դառնում են 0:

Բազմակապ տիրույթ. Եթե $D$-ն բազմակապ է, ապա արտաքին եզրով ինտեգրալը հավասար է ներքին եզրերով ինտեգրալների գումարին. $\int_\Gamma f(z) dz = \sum_{k=1}^n \int_{\gamma_k} f(z) dz$:

Թեորեմ. Եթե $f(z)$-ը անալիտիկ է $D$ միակապ տիրույթում, ապա $\forall z \in D$. $f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D} \frac{f(t)}{t - z} dt$

Ապացույց. $z$ կետի շուրջ վերցնենք $\rho$ շառավղով փոքր շրջանագիծ: Բազմակապ տիրույթի թեորեմով. $\int_{\partial D} \frac{f(t)}{t-z} dt = \int_{|t-z|=\rho} \frac{f(t)}{t-z} dt = \int \frac{f(t) - f(z) + f(z)}{t-z} dt$ $= \int \frac{f(t)-f(z)}{t-z} dt + f(z) \int \frac{dt}{t-z}$ Երկրորդ մասը $f(z) \cdot 2\pi i$ է: Առաջին մասը ձգտում է 0-ի, երբ $\rho \to 0$, ֆունկցիայի անընդհատության պատճառով:

Անալիտիկ ֆունկցիան ունի ցանկացած կարգի ածանցյալ, որոնք հաշվվում են հետևյալ բանաձևով. $f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{\partial D} \frac{f(t)}{(t - z)^{n+1}} dt$ Սա նշանակում է, որ եթե ֆունկցիան մեկ անգամ դիֆերենցելի է կոմպլեքս տիրույթում, ապա այն անվերջ դիֆերենցելի է:

Սահմանում. $u(x, y)$ ֆունկցիան կոչվում է հարմոնիկ, եթե այն ունի անընդհատ երկրորդ կարգի մասնական ածանցյալներ և բավարարում է Լապլասի հավասարմանը. $\Delta u = u_{xx} + u_{yy} = 0$:

Պնդում. Անալիտիկ $f = u + iv$ ֆունկցիայի իրական և կեղծ մասերը հարմոնիկ են: Սա բխում է Կոշի-Ռիմանի պայմաններից. $u_x = v_y \implies u_{xx} = v_{yx}$ և $u_y = -v_x \implies u_{yy} = -v_{xy}$: Քանի որ $v_{yx} = v_{xy}$, ապա $u_{xx} + u_{yy} = 0$:

Սահմանում. $F(z)$ կոչվում է $f(z)$-ի նախնական, եթե $F'(z) = f(z)$:

Թեորեմ. Եթե $f(z)$-ն անալիտիկ է միակապ տիրույթում, ապա $F(z) = \int_{z_0}^z f(t) dt$ ֆունկցիան նախնական է:

Ապացույց. $\frac{F(z+\Delta z) - F(z)}{\Delta z} - f(z) = \frac{1}{\Delta z} \int_z^{z+\Delta z} (f(t) - f(z)) dt$ Մոդուլը գնահատելիս՝ $|\dots| \le \frac{1}{|\Delta z|} \cdot \varepsilon \cdot |\Delta z| = \varepsilon$, երբ $\Delta z \to 0$:

Նյուտոն-Լայբնիցի բանաձև. $\int_{z_1}^{z_2} f(t) dt = F(z_2) - F(z_1)$:

Պնդում. Եթե $f(z)$-ը անալիտիկ է $D$ տիրույթում, ապա այն ունի ցանկացած կարգի ածանցյալ:

Ապացույցի գաղափարը. Օգտագործվում է Կոշիի ինտեգրալային բանաձևը: Ածանցյալի սահմանումը կիրառելով ինտեգրալի նկատմամբ և անցնելով սահմանի ինտեգրալի նշանի տակ (ինչը թույլատրելի է հավասարաչափ անընդհատության շնորհիվ), ստանում ենք $f'(z)$ տեսքը, ապա ինդուկցիայով՝ $f^{(n)}(z)$:

Թեորեմ. Դիցուք $f(z)$-ը անալիտիկ է $D$-ում և անընդհատ մինչև եզրը: Այդ դեպքում $|f(z)|$-ը իր ամենամեծ արժեքը ընդունում է տիրույթի եզրին՝ $\partial D$-ում: Եթե ամենամեծ արժեքն ընդունում է տիրույթի ներսի կետում, ապա ֆունկցիան հաստատուն է:

Ապացույց. Ենթադրենք $|f(z_0)| = M$ մաքսիմում է ներքին $z_0$ կետում: Ըստ Կոշիի բանաձևի. $f(z_0) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(z_0 + \rho e^{i\varphi}) d\varphi$ Մոդուլի համար՝ $M \le \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0 + \rho e^{i\varphi})| d\varphi \le M$ Սա հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ $|f(z)| = M$ շրջանագծի բոլոր կետերում: Քանի որ սա ճիշտ է ցանկացած $\rho$-ի համար, ֆունկցիայի մոդուլը հաստատուն է շրջանի մեջ, ինչից հետևում է, որ ֆունկցիան հաստատուն է:

Թեորեմ. Եթե $f(z)$-ը անընդհատ է $D$ տիրույթում և նրա ինտեգրալը ցանկացած փակ կոնտուրով հավասար է 0-ի, ապա $f(z)$-ը անալիտիկ է:

Ապացույց. Քանի որ փակ կորով ինտեգրալը 0 է, ապա ինտեգրալը կախված չէ ճանապարհից: Հետևաբար $F(z) = \int_{z_0}^z f(t) dt$ ֆունկցիան նախնական է և անալիտիկ: Քանի որ անալիտիկ ֆունկցիայի ածանցյալը ($F' = f$) նույնպես անալիտիկ է, ապա $f(z)$-ը անալիտիկ է:

Սահմանում. $f(z)$ ֆունկցիան կոչվում է ամբողջ, եթե այն անալիտիկ է ամբողջ կոմպլեքս հարթության վրա ($\mathbb{C}$):

Օրինակներ.

1. Ցուցչային ֆունկցիա՝ $e^z$
2. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ՝ $\sin z, \cos z$
3. Բազմանդամներ՝ $P_n(z) = a_0 + a_1 z + \dots + a_n z^n$

Պնդում. Դիցուք $f(z)$-ը անալիտիկ է $|z - z_0| < \rho$ շրջանում և $|f(z)| \le M$: Այդ դեպքում՝ $|f'(z_0)| \le \frac{M}{\rho}$

Ապացույց. Օգտվենք Կոշիի բանաձևից ածանցյալի համար. $|f'(z_0)| = \left| \frac{1}{2\pi i} \int_{|t-z_0|=\rho} \frac{f(t)}{(t-z_0)^2} dt \right| \le \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{M}{\rho^2} \rho d\varphi = \frac{M}{\rho}$:

Թեորեմ. Եթե $f(z)$ ֆունկցիան ամբողջ է և սահմանափակ, ապա այն հաստատուն է:

Ապացույց. Քանի որ $f(z)$ սահմանափակ է, $|f(z)| \le M$ բոլոր $z \in \mathbb{C}$ համար: Վերցնենք կամայական $z_0$: Ըստ նախորդ անհավասարության՝ $|f'(z_0)| \le \frac{M}{\rho}$: Քանի որ սա ճիշտ է ցանկացած $\rho > 0$ համար, անցնելով սահմանի $\rho \to \infty$, ստանում ենք $f'(z_0) = 0$: Քանի որ ածանցյալը 0 է ցանկացած կետում, $f(z) = \text{const}$:

Թեորեմ. Ցանկացած $n$-րդ կարգի բազմանդամ ($n \ge 1$) ունի առնվազն մեկ արմատ:

Ապացույց. Ենթադրենք $P_n(z) = a_n z^n + \dots + a_0 \neq 0$ ոչ մի $z$-ի համար: Այդ դեպքում $w(z) = 1/P_n(z)$ ֆունկցիան ամբողջ է: Քանի որ $|P_n(z)| \to \infty$, երբ $|z| \to \infty$, ապա $|w(z)| \to 0$: Սա նշանակում է, որ $w(z)$-ը սահմանափակ է ամբողջ հարթության վրա: Ըստ Լիուվիլի թեորեմի՝ $w(z) = \text{const}$, ինչը նշանակում է, որ $P_n(z)$ նույնպես հաստատուն է: Հակասություն:

Թեորեմ. Եթե $\sum u_n(z)$ շարքը հավասարաչափ զուգամիտում է $f(z)$-ին և բոլոր $u_n(z)$ ֆունկցիաները անընդհատ են, ապա սահմանային $f(z)$ ֆունկցիան նույնպես անընդհատ է:

Թեորեմ (Վայերշտրաս). Եթե անալիտիկ ֆունկցիաների $\sum u_n(z)$ շարքը հավասարաչափ զուգամիտում է $D$ տիրույթում, ապա սահմանային $f(z)$ ֆունկցիան նույնպես անալիտիկ է և կարելի է անդամ առ անդամ ածանցել.

Թեորեմ (Մաս 1). Դիցուք $f_n(z)$ անալիտիկ ֆունկցիաների հաջորդականությունը հավասարաչափ զուգամիտում է $f(z)$-ին $D$ տիրույթում: Այդ դեպքում $f(z)$-ը նույնպես անալիտիկ է $D$-ում:

Թեորեմ (Մաս 2). Այդ դեպքում $f_n(z)$ ֆունկցիայի $k$-րդ կարգի ածանցյալը հավասարաչափ զուգամիտում է $f(z)$-ի $k$-րդ կարգի ածանցյալին՝ $f_n^{(k)}(z) \Rightarrow f^{(k)}(z)$:

Ապացույցի գաղափար. Օգտագործվում է Կոշիի ինտեգրալային բանաձևը $f_n(z)$ և $f(z)$ համար: Քանի որ $f_n \to f$ հավասարաչափ է, կարելի է անցնել սահմանի ինտեգրալի նշանի տակ, ինչից հետևում է սահմանային ֆունկցիայի անալիտիկությունը:

Աստիճանային շարք. $\sum a_n(z - z_0)^n$ տեսքի շարքն է:

Թեորեմ (Աբել).

1. Եթե շարքը զուգամետ է $z_1 \neq z_0$ կետում, ապա այն բացարձակ զուգամետ է բոլոր $z$ կետերում, որոնց համար $|z - z_0| < |z_1 - z_0|$:
2. Եթե շարքը տարամետ է $z_2$ կետում, ապա այն տարամետ է բոլոր $z$ կետերում, որոնց համար $|z - z_0| > |z_2 - z_0|$:

Ապացույց. Եթե շարքը զուգամետ է $z_1$-ում, ապա նրա անդամները սահմանափակ են ($|a_n(z_1-z_0)^n| \le M$): Գնահատելով $|a_n(z-z_0)^n| = |a_n(z_1-z_0)^n| \cdot |\frac{z-z_0}{z_1-z_0}|^n \le M q^n$, որտեղ $q < 1$, ստանում ենք զուգամիտությունը ըստ Վայերշտրասի հայտանիշի:

Սահմանում. $R = \sup |z - z_0|$ արժեքը, որի դեպքում շարքը զուգամետ է, կոչվում է զուգամիտության շառավիղ:

Կոշի-Հադամարի բանաձև. $R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$

Շարքը բացարձակ զուգամետ է $|z-z_0| < R$ շրջանի ներսում և տարամետ է $|z-z_0| > R$ տիրույթում:

Թեորեմ. Եթե $f(z)$-ը անալիտիկ է $D$-ում, ապա $\forall z_0 \in D$ այն կարելի է վերածել աստիճանային շարքի $|z-z_0| < \rho$ շրջակայքում. $f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n, \quad a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$

Ապացույց. Օգտվելով Կոշիի ինտեգրալային բանաձևից և $\frac{1}{t-z}$ կոտորակը վերածելով երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի՝ $\sum \frac{(z-z_0)^n}{(t-z_0)^{n+1}}$, ստանում ենք վերլուծությունը: Վերլուծության միակությունը ապացուցվում է անդամ առ անդամ ինտեգրմամբ:

Թեորեմ. Եթե $f(z)$ և $g(z)$ անալիտիկ ֆունկցիաները համընկնում են $D$ տիրույթի որևէ $z_n \to z_0$ հաջորդականության վրա, ապա նրանք համընկնում են ամբողջ տիրույթում ($f(z) \equiv g(z)$):

Հետևանք. Անալիտիկ ֆունկցիան միարժեքորեն որոշվում է իր արժեքներով կամայականորեն փոքր շրջակայքում կամ կորի հատվածի վրա:

Թեորեմ. $r < |z - z_0| < R$ օղակում անալիտիկ ֆունկցիան վերածվում է հետևյալ շարքի. $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n$ որտեղ գործակիցները հաշվվում են՝ $a_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{|t-z_0|=\rho} \frac{f(t)}{(t-z_0)^{n+1}} dt$:

Կառուցվածք.

• Ռեգուլյար մաս. $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n$
• Գլխավոր մաս. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}$

Դիցուք $z_0$-ն $f(z)$-ի մեկուսացված եզակի կետ է:

1. Վերացնելի եզակի կետ. Լորանի շարքի գլխավոր մասը զրո է: $\lim_{z \to z_0} f(z)$ վերջավոր է:
2. Բևեռ ($k$-րդ կարգի). Գլխավոր մասն ունի վերջավոր թվով անդամներ, և $a_{-k} \neq 0$: $\lim_{z \to z_0} f(z) = \infty$:
3. Էապես եզակի կետ. Գլխավոր մասն ունի անվերջ քանակի ոչ զրոյական գործակիցներ: Սահմանը գոյություն չունի:

Թեորեմ. Եթե $z_0$-ն $f(z)$ ֆունկցիայի էապես եզակի կետ է, ապա ցանկացած $w \in \mathbb{C}$ թվի համար գոյություն ունի $z_n \to z_0$ հաջորդականություն, այնպես որ $f(z_n) \to w$:

Սա նշանակում է, որ էապես եզակի կետի շրջակայքում ֆունկցիան ընդունում է արժեքներ, որոնք կամայականորեն մոտ են ցանկացած տրված թվի:

Սահմանում. $f(z)$ ֆունկցիայի մնացք $z_0$ կետում անվանում ենք $\frac{1}{2\pi i} \int_{|z-z_0|=\rho} f(z)dz$ մեծությունը և նշանակում ենք $\operatorname{Res}[f, z_0]$:

Կապը Լորանի շարքի հետ. Քանի որ Լորանի շարքը հավասարաչափ զուգամետ է, անդամ առ անդամ ինտեգրելով ստանում ենք. $\operatorname{Res}[f, z_0] = a_{-1}$ Այսինքն՝ մնացքը Լորանի շարքի $(-1)$-րդ աստիճանի գործակիցն է:

Եթե $z_0$-ն $f(z)$-ի համար պարզ (առաջին կարգի) բևեռ է, ապա. $\operatorname{Res}[f, z_0] = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)$

Մասնավոր դեպք. Եթե $f(z) = \frac{h(z)}{g(z)}$, որտեղ $g(z_0) = 0$ և $g'(z_0) \neq 0$, ապա. $\operatorname{Res}[f, z_0] = \frac{h(z_0)}{g'(z_0)}$

Եթե $z_0$-ն $f(z)$-ի համար $k$-րդ կարգի բևեռ է, ապա մնացքը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով. $\operatorname{Res}[f, z_0] = \lim_{z \to z_0} \frac{1}{(k-1)!} \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}} \left[ (z - z_0)^k f(z) \right]$

Էապես եզակի կետի դեպքում սահմանային բանաձևեր գոյություն չունեն: Մնացքը գտնելու համար անհրաժեշտ է ֆունկցիան վերլուծել Լորանի շարքի և վերցնել $a_{-1}$ գործակիցը:

Մնացքը անվերջությունում. $\operatorname{Res}[f, \infty] = -\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\rho} f(z)dz = -a_1$ որտեղ $a_1$-ը անվերջության շուրջ Լորանի վերլուծության $1/z$ անդամի գործակիցն է (հաշվի առնելով նշանը):

Թեորեմ (Կոշիի մնացքների մասին). Եթե $f(z)$-ը անալիտիկ է $D$-ում, բացի վերջավոր թվով $z_1, \dots, z_n$ եզակի կետերից, ապա. $\int_{\partial D} f(z) dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}[f, z_k]$

Լրիվ մնացքների գումարը. Եթե ֆունկցիան ունի վերջավոր թվով եզակի կետեր ամբողջ $\mathbb{C}$-ում, ապա բոլոր մնացքների գումարը (ներառյալ անվերջ հեռու կետը) զրո է. $\sum_{k=1}^n \operatorname{Res}[f, z_k] + \operatorname{Res}[f, \infty] = 0$

$\int_0^{2\pi} R(\cos\varphi, \sin\varphi) d\varphi$ տիպի ինտեգրալները հաշվելու համար կատարվում է փոխարինում՝ $z = e^{i\varphi}$:

• $d\varphi = \frac{dz}{iz}$
• $\cos\varphi = \frac{z^2+1}{2z}, \quad \sin\varphi = \frac{z^2-1}{2iz}$

Ինտեգրալը վերածվում է $|z|=1$ շրջանագծով կոմպլեքս ինտեգրալի, որը հաշվվում է մնացքների միջոցով:

Պնդում. Եթե $|f(z)| < \frac{M}{|z|^{1+\alpha}}$ վերին կիսահարթությունում, ապա. $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 2\pi i \sum_{\operatorname{Im} z_k > 0} \operatorname{Res}[f, z_k]$

Ապացույցի գաղափար. Դիտարկվում է կիսաշրջանային կոնտուր: Երբ շառավիղը ձգտում է անվերջության, աղեղով ինտեգրալը ձգտում է 0-ի, և մնում է միայն իրական առանցքով ինտեգրալը:

Լեմմա. Եթե $|f(z)| \to 0$ հավասարաչափ, երբ $|z| \to \infty$, ապա $a > 0$ դեպքում. $\lim_{R \to \infty} \int_{C_R^+} e^{iaz} f(z) dz = 0$ Սա թույլ է տալիս հաշվել $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{iax} dx$ տեսքի ինտեգրալները մնացքների միջոցով: $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{iax} dx = 2\pi i \sum_{\operatorname{Im} z_k > 0} \operatorname{Res}[f(z)e^{iaz}, z_k]$

Թեորեմ. Եթե $f(z)$-ը անալիտիկ է $D$-ում, ունի $N$ զրոներ և $M$ բևեռներ (հաշվի առնելով պատիկությունները), ապա. $\frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D} \frac{f'(z)}{f(z)} dz = N - M$

Ապացույց. $\frac{f'}{f}$ ֆունկցիայի մնացքը $n$-րդ կարգի զրոյում $n$ է, իսկ $m$-րդ կարգի բևեռում՝ $-m$:

Լոգարիթմական մնացքը երկրաչափորեն հավասար է եզրը շրջանցելիս ֆունկցիայի արգումենտի փոփոխությանը՝ բաժանած $2\pi$: $N - M = \frac{1}{2\pi} \Delta_{\partial D} \arg f(z)$ Եթե ֆունկցիան բևեռներ չունի, ապա զրոների քանակը $N$ հավասար է $0$ կետի շուրջ կատարած պտույտների քանակին, երբ $z$-ը շրջանցում է $\partial D$-ն:

Թեորեմ. Եթե $f(z)$ և $g(z)$ անալիտիկ են $D$-ում և եզրի վրա $|f(z)| > |g(z)|$, ապա $f(z)$ և $f(z) + g(z)$ ֆունկցիաները $D$ տիրույթում ունեն նույն քանակությամբ զրոներ:

Ապացույց. $N_{f+g} - N_f = \frac{1}{2\pi} \Delta_{\partial D} \arg (1 + g/f)$: Քանի որ $|g/f| < 1$, ապա $w = 1 + g/f$ կորը չի պարունակում $0$ կետը, հետևաբար արգումենտի փոփոխությունը $0$ է: